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POPLIMONT,
Ingénieur à la Cie des Bassins-Houillers du Hainaut.
pas une nécessité pour les voûtes en arc dont la rup-
ture tend plutôt à se produire par un glissement sur
les naissances ou un renversement de pieds-droits.
Une bonne liaison des deux parties de l’ouvrage, un
appareil bien entendu à la rencontre de la voûte et de
ses supports et le prolongement de ceux-ci au-dessus
des naissances, sont les meilleurs remèdes au premier
danger. Quand au second, il doit être évité par une
épaisseur suffisante des pieds-droits.
La forme de l’intrados est généralement imposée
par les conditions de hauteur ou d’architecture aux-
quelles l’ouvrage doit satisfaire. Pour l’extrados on
emploie, en se basant sur les considérations qui pré-
cèdent, une des formes indiquées ci-dessus. En tous
cas il faut, si les deux courbes ne sont pas parallèles,
que l’épaisseur ne soit nulle part moindre qu’à la clef,
mais que cette épaisseur augmente vers les reins.
L’ouverture des voûtes varie dans des limites très-
étendues ; on fait des voûtes de 0.15 m. de rayon;
certains ponts ont des arches de 60 m. d’ouverture ; il
y en a peut-être de plus grands. Quand à la montée
ou flèche, dans les arcs de cercle ou les anses de pa-
nier, elle varie du tiers au seizième de l’ouverture.
Les épaisseurs de pieds-droits données par les for-
mules ci-dessous, sont des épaisseurs moyennes. En
général au lieu de donner aux supports cette épaisseur
sur toute leur hauteur on préfère ménager du côté des
terres des retraites successives de 0m15 ou 0m20,
en appliquant à l’assise située à mi-hauteur les va-
leurs fournies par les formules. Si pour une raison
quelconque les retraites n’étaient pas possibles, on
pourrait les remplacer par un fruit, dont l’épaisseur,
au milieu de la hauteur, serait celle donnée par les
formules. Dans un cas comme dans l’autre, la diffé-
rence entre les épaisseurs aux naissances et à la base,
ne dépasse pas, ordinairement, le cinquième de la
hauteur (*).
On peut tenir compte de la poussée des terres pour
diminuer l’épaisseur des supports d’une voûte, si ceux-
ci sont adossés à un remblai ; il faut s’assurer toute-
fois que la poussée du remblai ne dépasse pas celle de
la voûte, auquel cas l’épaisseur des pieds-droits doit
être déterminée d’après les conditions de stabilité des
murs de soutènement (**).
La poussée, sur chacun de ses supports, d’une voûte
en plein-cintre peut être évaluée grosso modo, à la
moitié de son poids et de celui de la surcharge. Nous
verrons plus loin la poussée que Rondelet attribue
aux autres espèces de voûtes. Cette poussée se produit
normalement sur les joints des naissances.
La poussée contre un mur de soutènement peut se
représenter approximativement par le poids du massif
de terre compris dans l’angle formé par la paroi exté-
rieure du mur et une ligne inclinée sur l'horizon de
45°. Cette poussée est horizontale, et son point d’ap-
plication est situé environ au tiers de la hauteur du
mur à partir de sa base (fig. 4). Pour comparer ces
deux poussées, il faut prendre leurs moments par rap-
port à l’extrémité extérieure (vers le remblai) de la
base du pied-droit.
Lorsque les pieds-droits supportent deux voûtes à
la fois, ce qui est le cas des piles de pont, leur épais-
seur peut être moindre que celle donnée par les for-
mules ou celle des culées. Toutefois, il ne faut pas
perdre de vue que cette diminution d’épaisseur serait
cause de la ruine entière de l’ouvrage, si par un acci-
dent quelconque une des voûtes venait à céder.
Si nous appelons :
D l’ouverture de la voûte, égale 2r dans les pleins-cintres;
f la montée ou flèche, égale D idem ;
e l’épaisseur à la clef ;
E l’épaisseur de la culée ;
H la hauteur idem ;
S la hauteur de la surcharge au-dessus de la base du
pied-droit ;
R la hauteur dé la surcharge au-dessus de l’extrados à la
clef ;
nous aurons les formules suivantes donnant l’épais-
seur e à la clef :
(Rondelet) e=0m,325 + 0,0347D (1)
Dans cette formule, D ne représente l’ouverture que
si la voûte est un plein-cintre ; dans le cas d’un arc
de cercle D égale le double du rayon de la courbe
d’intrados ; dans le cas d'une anse de panier D égale
le double du rayon de l’arc supérieur de l’intrados.
(Léveillé) e=0m, 333 + 0,03330 (2)
(Lesguiller) e=0,2 D+0m,10 (3)
(*) La hauteur des pieds-droits, piles ou culées, se compte du dessus
des fondations au point le plus bas des joints de naissance.
(**) Ces conditions peuvent se résumer d’une manière approximative
et générale en cette règle qu’un mur de soutènement de terres doit avoir
pour épaisseur, pour des terres ordinaires remblayées, le tiers de la hau-
teur des terres à soutenir.
Les formules (1) et (2) donnent des valeurs à peu
près identiques ; pour une ouverture de 20 mètres, la
3me formule donne la même valeur que les deux pre-
mières ; pour une ouverture moindre, elle donne une
valeur plus grande ; pour une ouverture plus grande,
elle donne une valeur moindre.
e=0m 43 +D+ R (4)
’ 10 50 50
Cette formule n’est applicable qu’aux pleins-cintres
et aux anses de panier ; dans ce dernier cas, D à la
même signification que dans la formule (1). Cette rela-
tion donne des épaisseurs beaucoup trop fortes dans
la plupart des cas.
Nous avons encore les formules suivantes dues à
M. Roffiaen :
Voûtes en plein-cintre : e=0m,30+0,07r (5)
Voûtes en anses de panier : e=0ra,30+0,07r (6)
r=D× 1.183 1.366f (7)
Voûtes en arc de 120° e=0m,30+0,07r (8)
90° e=0n',30+0,05r (9)
60° e=0m,30 + 0,04r (10)
50° e=0ra,30+0,03r (11)
40° e=0m,30+0,02r (12)
Toutes les formules que nous venons de donner
peuvent s’appliquer à des ouvrages devant présenter
une grande résistance, tels que des ponts, des via-
ducs, etc. Lorsque les constructions n’ont pas cette
importance, on peut en général réduire les épaisseurs
données par les relations ci-dessus ; l’examen d’ou-
vrages de même nature que celui à construire, indi-
quera dans quelle proportion cette réduction pourra
s’opérer.
C’est dans cet ordre d’idées que M. Michon pro-
pose les formules suivantes, dans lesquelles r est le
rayon d’intrados des voûtes en plein-cintre ou le rayon
du cercle qui passerait par les naissances et la clef à
l’intrados, dans les voûtes en anse de panier :
Voûtes à l’épreuve de la bombe e=0,50+0,12r
Id. fortes (ponts et souterrains) e = 0,40 + 0,08r
Id. moyennes (magasins, bâtiments) e=0,20+0,04r
Id. légères (sans surcharge) e=0,10+0,02r
L’épaisseur moyenne des culées sera donnée par
les relations ci-dessous :
(Léveillé) Plein-cintre : ___________________
E=(0,60 + 0,162D) H+0.25D 0.865D (13)
S 0.25D+e
(Id.) Arc de cercle :
E=(0.33+0.212D) H×D (14)
S (f+e)
(Id.) Anse de panier : ___________________
E=0,43+0.154D) H+0.54D 0.84D (15)
S 0.465f+e
Dans ces formules, la surcharge a été supposée en
maçonnerie ; si elle était en terre, il y aurait lieu de
réduire la hauteur S proportionnellement aux densités
respectives de la maçonnerie et de la terre. Mais, sauf
pour de grandes constructions, cette réduction peut
parfaitement être négligée.
(Lesguiller) Plein-cintre E= d (0,60+0,04H) (16)
Anse de panier E=d [0,60+ 0,05(D_2) +0,04H] (17)
Arc de cercle E= [0.60+0,10(D -2)+0,04H] (18)
Ces formules ne tiennent pas compte de la sur-
charge.
D(2D—f) , H R
E=0m, 305 + 8(D+f)6+12 (I9)
Lorsque la voûte est en plein-cintre E devient
égal à :
0m ,305+5 D+1h +1r (20)
Rondelet, dans son art de bâtir, donne les relations
suivantes entre les épaisseurs des pieds-droits des
différentes espèces des voûtes, celle en plein-cintre
étant prise pour unité :
Voûte en plein-cintre = 1.00
id. ogivale, tiers-point = 0.70
id. surbaissée au 1/3 =1.18
id. id. au1/6 = 1.35
id. id. au 1/10 = 1.40
Plate-bande = 1.42
D’après le même auteur les moments des poussées
des différentes voûtes, moments pris par rapport à un
même point de la base des pieds droits, peuvent se
représenter par les valeurs ci-dessous :
Voûte en plein-cintre = 1.00
id. ogivale, tiers-point = 0.50
id. surbaissée au tiers = 1.40
id. id. au 1/6 = 1.90
id. id. au 1/10 = 1.93
Plate-bande = 1.95
Méthode graphique pour tracer l’extrados dans les
pleins-cintres. On peut employer pour tracer l’extra-
dos, dans les pleins-cintres, après avoir calculé l’épais-
seur à la clef par une des formules que nous venons
de donner, la méthode graphique suivante :
Par le centre c on mène une droite faisant un
angle de 30° avec l’horizon. A partir du point où cette
droite rencontre l’intrados on porte une longueur dg
égale à deux fois l’épaisseur e = mn à la clef et par
le point g ainsi obtenu et le point n, on fait passer un
cercle ayant son centre sur la ligne cn. On sait qu’il
suffit pour obtenir ce centre o, d’élever une perpendi-
culaire sur le milieu de la corde gn.
On a aussi avec ce tracé, les formules suivantes,
qui en facilitent le métré :
Surf.dgnm=1\2 (1.317e× r+O.806e2)
r surf. dgnm
Arc hn= —+___
6 r
et enfin R=r+3e+-3\e2
r
en appelant R le rayon d’extrados.
Pour plus de développement on pourra consulter
l’Art de bâtir de Rondelet; le Cours de construction
de Sganzin, édition de 1868, annotée par Roffiaen,
le Cours de construction de Demanet ; la routine des
voûtes de Dujardin; le Traité de stabilité des construc-
tions de Scheffler et sous le rapport de l’appareil, la
Coupe des pierres de Claudel et Douliot et le Traité
des constructions en brigues du (A0 Gratry.
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